阿波羅尼斯圓

阿波羅尼斯圓

考試說明：阿波羅尼斯圓經(jīng)常在高考中出現(xiàn)： 一、知識(shí)梳理

如圖，點(diǎn)A,B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA??PB， 則??1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為 ；

P

A

當(dāng)??1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為 ，后世稱之為阿波羅尼斯圓．

二、診斷練習(xí)

1、已知兩定點(diǎn)A(?1,0),B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

PAPB

?

1

，則P點(diǎn)的.軌跡方程為2

三、典型例題

例1、已知兩點(diǎn)A(0,2),B(1,0)，直線l:3x+y+m=0上一點(diǎn)P

滿足PA=，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 。

1

變式1：滿足條件AB?2,AC?

2BC的三角形ABC的面積的最大值是 ．

變式2：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A?0,3?，直線l：y?2x?4.設(shè)圓的半徑為1 ，圓心在l上.若圓C上存在點(diǎn)M，使MA?2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

四、課堂達(dá)標(biāo)

C(0,aD),1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A(1,0),B(3,0),

(0,a?

P

，使得2，若存在點(diǎn)

PA?,PC?PD，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

2

阿波羅尼斯圓

一、知識(shí)梳理

直線；圓

二、診斷練習(xí)

1、x2?y2?4x?0

三、典型例題

思路分析：由PA可知，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，問題即為直線和圓有公共點(diǎn)。

例1、解：設(shè)點(diǎn)Px,y，由條件可得，點(diǎn)P的軌跡是x2-4x+y2+4y=2，而點(diǎn)P又在直線上，也就是說，直線和圓有公共點(diǎn)。所以，m???14,6?。

點(diǎn)評(píng)：若A,B是兩個(gè)定點(diǎn)，滿足PA?kPB(k?1)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓。這個(gè)結(jié)論在高考中經(jīng)常出現(xiàn)。

()

0），變式1：解：以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（?1，

22

）?y2?2?x?1）?y2， B（1，0），設(shè)C（x，y），由AC?2BC得x?1

2

平方化簡(jiǎn)整理得y2??x2?6x?1??（x?3）?8?8，∴y?22，則

1

??2y?22，∴S?ABC的最大值是22． 2

22

變式2：解： 設(shè)C?a,2a?4?，則圓方程為?x?a???y?2a?4??1

222222

又設(shè)M(x0,y0)， ?MA?2MO ?x0??y0?3??4x0?4y0， 即x0??y0?1??4 S?ABC?

2

這說明M既在圓?x?a???y?2a?4??1上，又在圓x??y?1??4上，因而這兩個(gè)圓

2

2

2

必有交點(diǎn)，即兩圓相交或相切，

?2?1?解得0?a?

?2?1，

1阿波羅尼斯圓212，即a的取值范圍是[0,]． 55

四、課堂達(dá)標(biāo)

1、解：設(shè)P(x,y

)

?

，

整理得(x?5)?y?8，即動(dòng)點(diǎn)

P在以(5,0)為圓心， 另一方面，由PC?PD知?jiǎng)狱c(diǎn)P在線段CD的垂直平分線y?a?1上運(yùn)動(dòng)，因而問題就轉(zhuǎn)化為直線y?a?1與圓(x?5)?y?8有交點(diǎn)，

所以a?

1?a

的取值范圍是[?11]．

3

2

2

22

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