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簡支梁受力分析力矩剪力計算
第十章 彎曲梁的設計
第一節(jié) 梁平面彎曲的概念和彎曲內(nèi)力
一、彎曲的概念
工程實際中，存在大量的受彎曲桿件，如火車輪軸，橋式起重機大梁。如圖10.1.1，圖10.1.2所示，這類桿件受力的共同特點是外力（橫向力）與桿軸線相垂直，變形時桿軸線由直線變成曲線，這種變形稱為彎曲變形。以彎曲變形為主的桿件稱為梁。
圖10.1.1 火車輪軸 圖10.1.2 起重機大梁
工程中常見的梁，其橫截面通常都有一個縱向?qū)ΨQ軸，該對稱軸與梁的軸線組成梁縱向?qū)ΨQ面。如圖10.1.3所示。
圖10.1.3 梁的縱向?qū)ΨQ
如果梁上所有的外力都作用于梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，則變形后的軸線將在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)變成一條平面曲線。這種彎曲稱為平面彎曲。平面彎曲是彎曲問題中最基本、最常見的，所以，這里只討論平面彎曲問題。
二、梁的計算簡圖及基本形式
梁上的荷載和支承情況比較復雜，為便與分析和計算，在保證足夠精度的前提下，需要對梁進行力學簡化。
(一)、梁的簡化
為了繪圖的方便，首先對梁本身進行簡化，通常用梁的軸線來代替實際的梁。 （二）、荷載分類
作用在梁上的載荷通�？梢院喕癁橐韵氯N類型：
1 、集中荷載 當載荷的作用范圍和梁的長度相比較是很小時，可以簡化為作用于一點的力，稱為集中荷載或集中力。如車刀所受的切削力便可視為集中力P，如圖10.1.4（a）所示，其單位為牛（N）或千牛（kN）。
2 、集中力偶 當梁的某一小段內(nèi)（其長度遠遠小于梁的長度）受到力偶的作用，可簡化為作用在某一截面上的力偶，稱為集中力偶。如圖10.1.4（b）所示。它的單位為牛·米
（N·m）或千�！っ祝╧N·m）。
3 、均布載荷 沿梁的長度均勻分布的載荷，稱為均布載荷。分布載荷的大小用載荷集度 q 表示，均布集度 q 為常數(shù)。如圖10.1.4（c）所示。其單位為牛／米（ N ／ m ）或千牛／米（ k ／ m ）。
（三）、梁的基本形式
按照支座對梁的約束情況，通常將支座簡化為以下三種形式：固定鉸鏈支座、活動鉸鏈支座和固定端支座。這三種支座的約束情況和支反力已在靜力學中討論過，這里不再重復。根據(jù)梁的支承情況，一般可把梁簡化為以下三種基本形式。
1 、簡支梁 梁的一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動餃鏈支座的梁稱為簡支梁。如圖10.1.5（a）。 2 、外伸梁 外伸梁的支座與簡支梁一樣，不同點是梁的一端或兩端伸出支座以外，所以稱為外伸梁。如圖10.1.5（b）
3 、懸臂梁 一端固定，另一端自由的梁稱為懸臂梁。如圖10.1.5（c）
圖10.1.4 載荷類 圖10.1.5 梁的類
以上三種梁的未知約束反力最多只有三個，應用靜力平衡條件就可以確定這三種形式梁的內(nèi)力。 三、 梁彎曲時的內(nèi)力——剪力和彎矩計算
作用于梁上的外力以及支承對梁的約束力都是梁的外載荷。支承對梁所產(chǎn)生的約束反力一般都由靜力平衡條件求得。在外載荷的作用下，梁要產(chǎn)生彎曲變形，梁的各橫截面內(nèi)就必定存在相應的內(nèi)力。求解梁橫截面上內(nèi)力的方法是截面法。
圖10.1.6 截面法求梁的內(nèi)
如圖10.1.6所示的簡支梁，受集中力P1和P2作用。為了求出距A端支座為x處橫截面m-m上的內(nèi)力，首先按靜力學中的平衡方程求出支座反力RA、RB。然后用截面法沿m-m截面假想地把梁截開，并以左邊部分為研究對象（圖10.1.6(b)）。因為原來梁處于平衡狀態(tài)，故左段梁在外力及截面處內(nèi)力的共同作用下也應保持平衡。截面m-m上必有一個與
截面相切的內(nèi)力Q來代替右邊部分對左邊部分沿截面切線方向移動趨勢所起的約束作用；又因為RA與P1
對截面形心的力矩一般不能相互抵消，為保持這部分不發(fā)生轉(zhuǎn)動，在橫截面m-m上必有一個位于載荷平面的內(nèi)力偶，其力矩為M，來代替右邊部分對左邊部分轉(zhuǎn)動趨勢所起的約束作用。由此可見，梁彎曲時，橫
截面上一般存在兩個內(nèi)力因素，其中Q
稱為剪力，M
稱為彎矩。
剪力和彎矩的大小可由左段梁的平衡方程確定。
1-Q=0 由 ΣFy = 0 得 RA-P
1 Q=RA-P
1(x-a)=0 由 ΣMC = 0 得 M-RAx+P
M=RAx-p1(x-a) 式中，C 為橫截面的形心。
若取右段梁研究，根據(jù)作用力與反作用力定律，在m-m截面上也必然有剪力Q' 和彎矩M'，并且它們分別與 Q 和 M 數(shù)值相等、方向相反。
剪力和彎矩的正負按梁的變形來確定。凡使所取梁段具有作順時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為正，反之為負。如圖10.1.7所示。凡使梁段產(chǎn)生上凹下凸彎曲變形的彎矩為正，反之為負。如圖10.1.8所示。
圖10.1.7 剪力的符 圖10.1.8 彎矩的
綜上所述，可得求剪力、彎矩大小和方向的規(guī)則：
對于剪力：梁內(nèi)任一橫截面上的剪力等于該截面一側(cè)梁上所有橫向外力的代數(shù)和；正負號由“外力左上右下，產(chǎn)生的剪力為正”確定。
對于彎矩：梁內(nèi)任一橫截面上的彎矩等于該截面一側(cè)梁上所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和。正負號由“外力矩左順右逆，產(chǎn)生的彎矩為正”確定。
利用上述規(guī)則，可以直接根據(jù)截面左側(cè)或右側(cè)梁上的外力求出指定截面的剪力和彎矩。
例10.1.1 簡支梁受集中力p=1kN，力偶m=1kN?m，均布載荷q=4kN/m，如圖10.1.9所示，試求Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面上的剪力和彎矩。
圖10.1.9
解：（1）求支座反力。 ∑
簡支梁
MB(F)=0,
即 P?750-RA?1000-m+q?0.5?250=0
可得 RA=250N
∑F
y
=0,
即RA-P-q?0.5+RB=0
可得 RB=2750N
（2）計算剪力和彎矩（應取簡單的一側(cè)為研究對象）。
Ⅰ-Ⅰ Q1=RA=250N
M1=RA?200=250?0.2=50N?m
點右側(cè)的剪力值為-0.5kN。同樣的道理，依次，可完成其剪力圖（圖10.1.14（b））。需要說明，剪力圖最后應回到零。圖中虛線箭頭只表示畫圖走向和突變方向。
（2）繪彎矩圖。彎矩圖也是從零開始，自左向右邊，逐段畫出。A點因無力偶作用，故無突變。因AC段剪力圖為x軸的上平行線，故其彎矩圖為一條從零開始的上斜線，其斜率為2.5（圖10.1.14（c）中斜率僅為繪圖方便而標注），C點的彎矩值為2.5?1=2.5(kN?m)。
CD段的彎矩圖為一條從2.5kN?m開始的下斜線，斜率為0.5，故D點的彎矩值為
2.5-0.5?2=1.5(kN?m)，同樣的道理可畫出DB段彎矩圖，最后回到零（圖10.1.14（c））。
例10.1.7 外伸梁受力如圖10.1.15（a）所示，M=4kN?m，P=10kN，RA=-6kN，RB=16kN。
其它尺寸如圖所示。試繪出梁的剪力圖和彎矩圖。
圖10.1.15
解：
（1）繪剪力圖。根據(jù)規(guī)律畫剪力圖時可不考慮力偶的影響。因此，繪其剪力圖時，從A點零開始，向下突變6，從6開始畫X軸平行線至B點，向上突變16，在畫X軸平行線，最后連D點向下突變10而回到零（圖10.1.15（b））.
（2）繪彎矩圖從A點零開始，畫斜率為6的下斜線至C點，因C點有力偶作用，故彎矩圖有突變，根據(jù)“順上逆下”，故向上突變4，在畫斜率為6的下斜線至B點，在B點轉(zhuǎn)折，作斜率為10的上斜線至D點而回到零（圖10.1.15（c））。
例10.1.8 外伸梁受力如圖10.1.16（a）所示，已知M=16KN?m，q=2kN/m，p=2KN，
取一矩形截面直桿，實驗前，在梁的側(cè)面上，畫上垂直于梁軸的橫向線 =
1 \*
ROMAN I－ = 1 \* ROMAN I和 = 2 \* ROMAN II－ = 2 \* ROMAN II及平行于梁軸的縱向線ab和cd，然后在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)兩端施加集中力偶M，使梁產(chǎn)生純彎曲。如圖10.2.1所示。梁發(fā)生彎曲變形后，我們可以觀察到以下現(xiàn)象：
1、橫向線ac和bd仍是直線且仍與梁的軸線正交，只是相互傾斜了一個角度
2、縱向線ab和cd（包括軸線）都變成了弧線。且ab變成a'b'后縮短了，cd變成c'd'后伸長了
3、梁橫截面的寬度發(fā)生了微小變形，在壓縮區(qū)變寬了些，在拉伸區(qū)則變窄了些。
圖10.2.1 梁的彎曲試驗圖 10.2.2 梁的中性層
根據(jù)上述現(xiàn)象，可對梁的變形提出如下假設：
① 平面假設：梁彎曲變形時，其橫截面仍保持平面，且繞某軸轉(zhuǎn)過了一個微小的角度。
② 單向受力假設：設梁由無數(shù)縱向纖維組成，則這些纖維處于單向受拉或單向受壓狀態(tài)。
可以看出，梁下部的縱向纖維受拉伸長，上部的縱向纖維受壓縮短，其間必有一層纖維既不伸長也不縮短，這層纖維稱為中性層。中性層和橫截面的交線稱為中性軸。如圖10.2.2所示。
（二）、變形的幾何關(guān)系
由于純彎曲時，各層縱向纖維受到軸向拉伸和壓縮的作用，因此材料的應力和應變的關(guān)系應符合拉壓胡克定律σ=Eε
由上式可知，若搞清應力分布規(guī)律，必須搞清應變ε的變化規(guī)律，為此，將變形后的梁中取一微段來進行研究，如圖10.2.3所示。兩截面 = 1 \* ROMAN I－ = 1 \* ROMAN I和 = 2 \* ROMAN II－ = 2 \* ROMAN II原來是平行的，現(xiàn)在相互傾斜了一個微小角度dθ。圖中OO'為中性層，設其曲率半徑為ρ，c'd'到中性層的距離為y形后中性層纖維長度仍為dX且dX=ρdθ。距中性層為y，則縱向線cd的線應變?yōu)椋?/p>
ylmax和
yymax
分別是拉應力和壓應力一側(cè)最遠點到中性軸的距離。
(三)、強度條件三類問題
與拉壓強度條件應用相似，彎曲強度條件同樣可以用來解決以下三類問題。 ① 強度校核 驗算梁的強度是否滿足強度條件，判斷梁在工作時是否安全。
② 截面設計 根據(jù)梁的最大載荷和材料的許用應力，確定梁截面的尺寸和形狀，或選用合適的標準型鋼。
③ 確定許用載荷 根據(jù)梁截面的形狀和尺寸及許用應力，確定梁可承受的最大彎矩，再由彎矩和載荷的關(guān)系確定梁的許用載荷。
對于非對稱截面，需按公式
例10.2.2 圖10.2.6（a）所大學網(wǎng)示，托架為一T形截面的鑄鐵梁。已知截面對中性軸z的慣性矩
IZ=1.35?107mm4 ,P=4.5kN，鑄鐵的彎曲許用應力[σ1]=40MPa，[σ2]=80MPa，若略去梁的自重影響，使校核梁的強度。
解：（1）畫其受力圖（見圖10.2.6（b））。
（2）繪制剪力圖（見圖10.2.6（c））.
例10.3.1 懸臂吊車的計算簡圖如圖10.3.1a所示，橫梁AC用工字鋼制成。已知最大吊重P=15kN，α=30 ?，梁的許用應力[σ]=100MPa，試選擇工字鋼型號。
圖10.3.1 橫梁AC的內(nèi)力及應用
解:（1）外力分析：取橫梁AB為研究對象，受力分析如圖10.3.1（b）所示。當小車移到點C時，梁處于最不利的受力狀態(tài)，此時由平衡條件知：
第四節(jié) 梁的彎曲變形及剛度計算
梁與其它受力桿件一樣，除了要滿足強度條件外，還要滿足剛度條件。使其工作時變形不致過大，否則會引起振動，影響機器的運轉(zhuǎn)精度，甚至導致失效。例如圖10.4.1所示，齒輪軸的彎曲變形過大，就會影響齒輪的正常嚙合，加速齒輪的磨損，并使軸與軸承配合不好，造成傳動不穩(wěn)定，減少壽命。另一方面，彎曲變形也有可利用的一面。如車輛上的鋼板彈簧，需要足夠大變形以緩和車輛受到的沖擊和震動，為了限制和利用梁的變形，就必須掌握梁的變形計算。
圖10.4.1 齒輪軸 圖10.4.2 梁的撓曲線
一、彎曲變形的撓度與轉(zhuǎn)角
直梁在平面彎曲時，其軸線將在加載平面內(nèi)彎成一條光滑的平面曲線，該曲線稱為梁的撓曲線。如圖10.4.2所示。梁任意橫截面形心沿y軸方向的線位移，稱為撓度，用y表示，通常規(guī)定：向上為正，向下為負。由于彎曲變形屬于小變形，梁橫截面形心沿x軸方向的位移很小，可忽略不計。
在彎曲過程中，梁任一橫截面相對于原來位置所轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角，用θ表示，通常規(guī)定：逆時針為正，順時針為負。
二、梁的撓曲線方程
為了表達梁的撓度與轉(zhuǎn)角隨著截面位置不同而變化的規(guī)律，取梁變形前的軸線為x軸，與x軸垂直向
截面模量WZ，均能提高強度。由此可見，為提高梁的承載能力，除合理地施加載荷和安排支承位置，以減小彎矩和變形外，主要應從增大I和W，以及減小跨度等方面采取措施，以使梁的設計經(jīng)濟合理。工程上可采用以下幾項措施。
（1）采用合理的截面形狀
在截面面積即材料重量相同時，應采用I和W較大的截面形狀，即截面積分布應盡量遠離中性軸。因離中性軸較遠處正應力較大，而靠近中性軸處正應力很小，這部分材料沒有被充分利用。若將靠近中性軸處的材料移到離中性軸較遠處，如將矩形改為工字形截面，則可提高慣性矩和抗彎截面模量，即提高抗彎能力。同理，實心圓截面若改為面積相等的圓環(huán)形截面也可提高承載能力。
此外，合理的截面形狀應使截面上的最大拉應力和最大壓應力同時達到相應的許用應力值。對于抗拉和抗壓強度相等的塑性材料，宜采用中性軸是對稱軸的截面(工字形)。對于抗拉和抗壓強度不相等的脆性材料，宜采用中性軸不對稱的截面(如T字形或槽形)。
(2)采用變截面梁
除上述材料在梁的某一截面合理安排外，還有一個材料沿梁的軸線如何合理安排問題。
等截面的截面尺寸是由最大彎矩決定的。故除最大彎矩所在截面外，其余部分材料未被充分利用。為了節(jié)省材料和減輕重量，可采用變截面梁，即在彎矩較大的部位采用較大的截面，在彎矩較小的部位采用較小的截面。
（3）、減小跨度或增加支承
因梁的變形與梁的跨度l高次方成正比，故減小跨度是提高梁抗彎強度和抗彎剛度的有效措施。如在車床車工件時在工件的自由端加裝尾架頂針即為此目的。
第五節(jié) 疲勞破壞
一、動載荷和交變應力
（一）動載荷的概念
在研究直桿的拉（壓）、梁的彎曲和圓軸的扭轉(zhuǎn)等的變形和強度時，都是把外載荷的大小和方向看成是不隨時間變化來對待的。這種大小和方向不隨時間而變化的載荷稱為靜載荷。然而在工程實際中，大多數(shù)零件工作時所受到的載荷并不是靜載荷。如互相嚙合的齒輪、內(nèi)燃機的連桿、高速旋轉(zhuǎn)的砂輪等等，在工作中所受的載荷明顯要隨時間而變化，或者是短時間內(nèi)有突變，這種載荷稱為動載荷。
2.即使是塑性材料，破壞時也無顯著變形，而是發(fā)生突然脆性斷裂；
3.疲勞破壞斷口具有明顯的光滑區(qū)和粗糙區(qū)。光滑區(qū)是裂紋擴展所致，粗糙區(qū)是裂縫前沿應力集中導致突然脆斷所致。如圖10.6.3所示。
形成這種破壞特點的原因通常是：當交變應力經(jīng)過了一定次數(shù)的循環(huán)后，在構(gòu)件上最大應力處或材質(zhì)薄弱處就產(chǎn)生了細微的裂紋源。有時材料表面的加工痕跡、缺陷等本身就是裂紋源。隨著應力循環(huán)次數(shù)的增加，裂紋逐漸擴大；在應力交替過程中，裂紋兩表面的材料時而壓緊，時而分開，不斷反復，從而形成了斷口處的光滑區(qū)域。隨著裂紋的不斷擴展，構(gòu)件的有效承載面積將隨之減小，并在裂紋交口處形成高度的應力集中。當裂紋擴大到一定程度后，就會在某次偶然的振動或沖擊下，發(fā)生突然的脆性斷裂，從而形成斷口處的粗糙顆粒狀區(qū)域。
工程中大部分零件的損壞都屬于疲勞破壞。疲勞破壞是在沒有明顯塑性變形的情況下突然發(fā)生的，具有較大的危險性，造成的事故是嚴重的。因此，對交變應力引起的疲勞破壞應引起足夠的重視，疲勞計算也就顯得尤為重要。
（二）、疲勞極限
由上述分析可知，構(gòu)件發(fā)生疲勞失效時，所受到的最大應力低于靜載下材料的屈服極限或強度極限。所以不能用靜載強度指標作為衡量疲勞強度的標準，要用實驗的方法測得材料在交變應力下的極限應力值（稱為材料的疲勞極限）作為疲勞強度指標。
材料的疲勞極限是指材料試樣經(jīng)過無窮多次應力循環(huán)而不發(fā)生破壞時，應力循環(huán)中最大應力的最高限，又稱為持久極限。試樣材料的最大工作應力和使用壽命（即應力循環(huán)次數(shù)）之間的關(guān)系可用如圖10.5.4所示的疲勞曲線來表示。
圖10.5.4 疲勞斷口 圖10.5.5 疲勞曲線
從疲勞曲線圖中可以看出，交變應力的最大值越大，則構(gòu)件的應力循環(huán)次數(shù)就越少，即構(gòu)件的壽命越短；反之，則應力循環(huán)次數(shù)越多，壽命越長。當最大應力降低到某一值時，疲勞曲線趨于水平，這表示構(gòu)件在此交變應力下可經(jīng)歷無數(shù)次的應力循環(huán)而不發(fā)生疲勞破壞，這一應力值稱為該材料的疲勞極限，在圖中以疲勞曲線的水平漸近線的縱坐標表示。若交變應力為對稱循環(huán)，則疲勞極限用σ-1表示；若為脈動循環(huán)則用σ0表示。根據(jù)大量實驗結(jié)果可得，材料的疲勞極限與其靜強度極限之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，而且對不同的變形和不同的應力循環(huán)特性，即使是同一種材料，這一數(shù)量關(guān)系也不同，即疲勞極限不同。由試驗可得幾種常見變形和交變應力類型作用下的材料疲勞極限與靜強度極限之間的數(shù)量關(guān)系如下：
彎曲對稱循環(huán) σ-1≈0.4σb
拉（壓）對稱循環(huán) σ-1≈0.28σb
扭轉(zhuǎn)對稱循環(huán) σ-1≈0.22σb
從這一近似關(guān)系中可知，材料的持久極限遠小與其強度極限。也就是說，在交變應力作用下，材料抵抗破壞的能力顯著降低。
試驗結(jié)果還表明，同一種材料在不同的應力循環(huán)特性下的持久極限σ-1數(shù)值不同。同一種材料在相同的基本變形下，以對稱應力循環(huán)時的持久極限為最低。因此，實際工程中以材料在對稱應力循環(huán)下的持久極限作為材料疲勞強度的基本指標。
思考與練習
10.1 梁彎曲時橫截面上的內(nèi)力有哪些？它們的符號是如何規(guī)定的？
10.2 作用在梁上的載荷通常有哪幾種？
10.3 梁彎曲時，怎樣判斷梁上的危險截面和危險點？
10.4 空心截面梁的強度比實心截面梁的強度大，這種說法正確嗎？
10.5 怎樣解釋“在梁上集中力作用處剪力圖發(fā)生突變，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折”和“在集中力偶作用處彎矩圖發(fā)生突變而剪力圖無變化”？
10.6 試求圖示各梁1-1、2-2截面上的剪力和彎矩。
張力為FT1 = 2FT2 。若電動機功率P = 14kW，轉(zhuǎn)速n = 950 r/min ，試繪出AB 軸的內(nèi)
力圖。
題10 .9圖
10.10 外伸梁承受載荷如圖所示，已知橫截面為22a工字鋼，試求梁橫截面上的最大正應力和最大切應力，并指出其作用位置。
題10．10圖
10.11．圓截面梁的承載情況如圖所示，其外伸部分為空心圓截面，試作彎矩圖，并求該梁的最大正應力。
題10．11圖
10.12 圖示一端外伸的軸在C處受飛輪自重G=20kN的作用，軸材料的許用應力[σ]=120MPa，E=200GPa，軸承B處的許用轉(zhuǎn)角[θ]=0.5。試設計軸的直徑。
10.13 軸受力如圖所示，已知FP=3.6kN，d=32mm，材料的許用應力[σ]=100MPa，E=200GPa，要求加
力點處C截面的撓度不大于許用撓度[?]=0.05mm，試校核該軸的強度與剛度。
題10 .12圖 題10.13圖
10.14 No25a槽形截面簡支梁如圖所示。已知材料的許用應力［σ］＝１６０ＭＰａ，在截面豎放和橫放兩種情況下，試比較其許用彎曲力偶矩M0的大小。
10.15 圖示承受均布載荷的簡支梁，由兩根豎向放置的普通槽鋼組成，已知q=100kN/m，l=4m；材料的許用應力［σ］＝１００ＭＰａ，E=200Gpa；梁的許撓度［ν］＝０.００１ｌ，試確定槽鋼的型號。
題10.14圖 題10.15圖
10.16 如圖示梁AC的截面為No10工字鋼，B點用圓截面鋼桿BD懸掛，已知d=20mm，梁和桿的材料許用應力［σ］＝１６０ＭＰａ，試求許用均布載荷ｑ。
10.17 簡支梁承受載荷如圖所示，已知橫截面為28a號工字鋼，其材料許用應力［σ］＝１７０ＭＰ
ａ，試校核此梁的強度。
題10.16 圖 題10.17圖
10.18 如圖所示起重構(gòu)架，梁ACD由兩根槽鋼組成。已知a=3m，b=1m，F(xiàn)=30kN，梁材料的許用應力［σ］＝１４０ＭＰａ，試選擇槽鋼的型號。
10.19 圖示簡支梁AB上受載荷FP=20kN的作用，梁的跨度l=2.5m，橫截面為矩形，其高度h=100mm，
０寬度b=60mm。若已知а＝３０，材料的許用應力［σ］＝８０ＭＰａ，試校核此梁的強度。
題10.18圖
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