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論數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)作文
摘要：
數(shù)學(xué)常常被人們認(rèn)為是自然科學(xué)中發(fā)展得最完善的一門學(xué)科，但在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，卻經(jīng)歷了三次危機(jī)，人們?yōu)榱耸箶?shù)學(xué)向前發(fā)展，從而引入一些新的東西使問(wèn)題化解，在第一次危機(jī)中導(dǎo)致無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生；第二次危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì)微積分誕生后，無(wú)窮小量的刻畫問(wèn)題，最后是柯西解決了這個(gè)問(wèn)題；第三次危機(jī)發(fā)生在19世紀(jì)末，羅素悖論的產(chǎn)生引起數(shù)學(xué)界的軒然大波，最后是將集合論建立在一組公理之上，以回避悖論來(lái)緩解數(shù)學(xué)危機(jī)。本文回顧了數(shù)學(xué)上三次危機(jī)的產(chǎn)生與發(fā)展，并給出了自己對(duì)這三次危機(jī)的看法，最后得出確定性喪失的結(jié)論。
提到數(shù)學(xué)，我有一種感覺(jué)，數(shù)學(xué)是自然中最基礎(chǔ)的學(xué)科，它是所有科學(xué)之父，沒(méi)有數(shù)學(xué)，就不可能有其他科學(xué)的產(chǎn)生。就人類發(fā)展史而言，數(shù)學(xué)在其中起的作用是巨大的，難怪有人說(shuō)數(shù)學(xué)是人類科學(xué)中最美的科學(xué)。但在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，并不是那么一帆風(fēng)順的，其中歷史上曾發(fā)生過(guò)三大危機(jī)，危機(jī)的發(fā)生促使了數(shù)學(xué)本生的發(fā)展，因此我們應(yīng)該辨證地看待這三大危機(jī)。
第一次危機(jī)發(fā)生在公元前580～568年之間的古希臘，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯建立了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這個(gè)學(xué)派集宗教、科學(xué)和哲學(xué)于一體，該學(xué)派人數(shù)固定，知識(shí)保密，所有發(fā)明創(chuàng)造都?xì)w于學(xué)派領(lǐng)袖。當(dāng)時(shí)人們對(duì)有理數(shù)的認(rèn)識(shí)還很有限，對(duì)于無(wú)理數(shù)的概念更是一無(wú)所知，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所說(shuō)的數(shù)，原來(lái)是指整數(shù)，他們不把分?jǐn)?shù)看成一種數(shù)，而僅看作兩個(gè)整數(shù)之比，他們錯(cuò)誤地認(rèn)為，宇宙間的一切現(xiàn)象都?xì)w結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。該學(xué)派的成員希伯索斯根據(jù)勾股定理（西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理）通過(guò)邏輯推理發(fā)現(xiàn)，邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是“荒謬”和違反常識(shí)的事。它不僅嚴(yán)重地違背了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，也沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的傳統(tǒng)見(jiàn)解。使當(dāng)時(shí)希臘數(shù)學(xué)家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發(fā)現(xiàn)被投入海中淹死，這就是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。
最后，這場(chǎng)危機(jī)通過(guò)在幾何學(xué)中引進(jìn)不可通約量概念而得到解決。兩個(gè)幾何線段，如果存在一個(gè)第三線段能同時(shí)量盡它們，就稱這兩個(gè)線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對(duì)角線，就不存在能同時(shí)量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。很顯然，只要承認(rèn)不可通約量的存在使幾何量不再受整數(shù)的限制，所謂的數(shù)學(xué)危機(jī)也就不復(fù)存在了。
我認(rèn)為第一次危機(jī)的產(chǎn)生最大的意義導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)地產(chǎn)生，比如說(shuō)我們現(xiàn)在說(shuō)的 ， 都無(wú)法用 來(lái)表示，那么我們必須引入新的數(shù)來(lái)刻畫這個(gè)問(wèn)題，這樣無(wú)理數(shù)便產(chǎn)生了，正是有這種思想，當(dāng)我們將負(fù)數(shù)開(kāi)方時(shí)，人們引入了虛數(shù)i（虛數(shù)的產(chǎn)生導(dǎo)致復(fù)變函數(shù)等學(xué)科的產(chǎn)生，并在現(xiàn)代工程技術(shù)上得到廣泛應(yīng)用），這使我不得不佩服人類的智慧。但我個(gè)人認(rèn)為第一次危機(jī)的真正解決在1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)無(wú)理數(shù)的嚴(yán)格定義，因?yàn)閿?shù)學(xué)是很強(qiáng)調(diào)其嚴(yán)格的'邏輯與推證性的。
第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì)。十七世紀(jì)微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問(wèn)題，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。其實(shí)我翻了一下有關(guān)數(shù)學(xué)史的資料，微積分的雛形早在古希臘時(shí)期就形成了，阿基米德的逼近法實(shí)際上已經(jīng)掌握了無(wú)限小分析的基本要素，直到2100年后，牛頓和萊布尼茲開(kāi)辟了新的天地——微積分。微積分的主要?jiǎng)?chuàng)始人牛頓在一些典型的推導(dǎo)過(guò)程中，第一步用了無(wú)窮小量作分母進(jìn)行除法，當(dāng)然無(wú)窮小量不能為零；第二步牛頓又把無(wú)窮小量看作零，去掉那些包含它的項(xiàng)，從而得到所要的公式，在力學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用證明了這些公式是正確的，但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程卻在邏輯上自相矛盾．焦點(diǎn)是：無(wú)窮小量是零還是非零？如果是零，怎么能用它做除數(shù)？如果不是零，又怎么能把包含著無(wú)窮小量的那些項(xiàng)去掉呢？
直到19世紀(jì)，柯西詳細(xì)而有系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論�？挛髡J(rèn)為把無(wú)窮小量作為確定的量，即使是零，都說(shuō)不過(guò)去，它會(huì)與極限的定義發(fā)生矛盾。無(wú)窮小量應(yīng)該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質(zhì)上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無(wú)窮小的概念，另外Weistrass創(chuàng)立了 極限理論，加上實(shí)數(shù)理論，集合論的建立，從而把無(wú)窮小量從形而上學(xué)的束縛中解放出來(lái)，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)基本解決。
而我自己的理解是一個(gè)無(wú)窮小量，是不是零要看它是運(yùn)動(dòng)的還是靜止的，如果是靜止的，我們當(dāng)然認(rèn)為它可以看為零；如果是運(yùn)動(dòng)的，比如說(shuō)1/n，我們說(shuō) ，但n個(gè)1/n相乘就為1，這就不是無(wú)窮小量了，當(dāng)我們遇到 等情況時(shí)，我們可以用洛比達(dá)法則反復(fù)求導(dǎo)來(lái)考查極限，也可以用Taylor展式展開(kāi)后，一階一階的比，我們總會(huì)在有限階比出大小。
第三次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在1902年，羅素悖論的產(chǎn)生震撼了整個(gè)數(shù)學(xué)界，號(hào)稱天衣無(wú)縫，絕對(duì)正確的數(shù)學(xué)出現(xiàn)了自相矛盾。
我從很早以前就讀過(guò)“理發(fā)師悖論”，就是一位理發(fā)師給不給自己理發(fā)的人理發(fā)。那么理發(fā)師該不該給自己理發(fā)呢？還有大家熟悉的“說(shuō)謊者悖論”，其大體內(nèi)容是：一個(gè)克里特人說(shuō)：“所有克里特人說(shuō)的每一句話都是謊話�！痹噯�(wèn)這句話是真還是假?從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，這就是羅素悖論的一個(gè)具體例子。
羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者都認(rèn)為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實(shí)雖是這樣但原因卻又是什么呢？這是由于R是集合，若R含有自身作為元素，就有R R，那么從集合的角度就有R R。一個(gè)集合真包含它自己，這樣的集合顯然是不存在的。因?yàn)榧纫猂有異于R的元素，又要R與R是相同的，這顯然是不可能的。因此，任何集合都必須遵循R R的基本原則， 否則就是不合法的集合。這樣看來(lái)，羅素悖論中所定義的一切R R的集合，就應(yīng)該是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，這就是同類事物包含所有的同類事物，必會(huì)引出最大的這類事物。歸根結(jié)底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明確了，實(shí)質(zhì)上，羅素悖論就是一個(gè)以否定形式陳述的最大集合悖論。
從此，數(shù)學(xué)家們就開(kāi)始為這場(chǎng)危機(jī)尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以回避悖論。首先進(jìn)行這個(gè)工作的是德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會(huì)產(chǎn)生悖論的集合論，又經(jīng)過(guò)德國(guó)的另一位數(shù)學(xué)家弗芝克爾的改進(jìn)，形成了一個(gè)無(wú)矛盾的集合論公理系統(tǒng)（即所謂ZF公理系統(tǒng)），這場(chǎng)數(shù)學(xué)危機(jī)到此緩和下來(lái)。
現(xiàn)在，我們通過(guò)離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，知道集合論主要分為Cantor集合論和Axiomatic集合論，集合是先定義了全集I，空集 ，在經(jīng)過(guò)一系列一元和二元運(yùn)算而得來(lái)得。而在七條公理上建立起來(lái)的集合論系統(tǒng)避開(kāi)了羅素悖論，使現(xiàn)代數(shù)學(xué)得以發(fā)展。
我們應(yīng)該怎樣看待這三次數(shù)學(xué)危機(jī)呢？我認(rèn)為數(shù)學(xué)危機(jī)給數(shù)學(xué)發(fā)展帶來(lái)了新的動(dòng)力。在這場(chǎng)危機(jī)中集合論得到較快的發(fā)展，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的進(jìn)步更快，數(shù)理邏輯也更加成熟。然而，矛盾和人們意想不到的事仍然不斷出現(xiàn)，而且今后仍然會(huì)這樣。就拿悖論的出現(xiàn)來(lái)說(shuō)，從某種意義上并不是什么壞事，它預(yù)示著更新的創(chuàng)造和光明，推進(jìn)了科學(xué)的進(jìn)程，我們應(yīng)用辨證的觀點(diǎn)去看待他。
通過(guò)數(shù)學(xué)的發(fā)展史和這三次數(shù)學(xué)危機(jī)，我越來(lái)越感到M 克萊因教授著的一本書，是關(guān)于確定性的喪失，其中書中說(shuō)道: 數(shù)學(xué)需要絕對(duì)的確定性來(lái)證實(shí)自身嗎？特別是，我們有必要確保某一理論是相容的或確保其在使用之前是通過(guò)非經(jīng)驗(yàn)論時(shí)期絕對(duì)可靠的直覺(jué)得到的嗎？在其他科學(xué)中，我們并沒(méi)要求這樣做。在物理學(xué)中所有的定理都是假設(shè)的，一個(gè)定理，只要能夠作出有用的預(yù)告我們就采用它。而一旦它不再適用，我們就修改或丟棄它。過(guò)去，我們常這樣對(duì)待數(shù)學(xué)定理，那時(shí)矛盾的發(fā)現(xiàn)將導(dǎo)致數(shù)學(xué)原則的變更，盡管這些數(shù)學(xué)原則在矛盾發(fā)現(xiàn)前還是為人們所接受的。因此我們看問(wèn)題的觀念應(yīng)該改變一下，數(shù)學(xué)是不確定性的。
不管數(shù)學(xué)以后向何處發(fā)展，但就數(shù)學(xué)仍然是可用的最好知識(shí)的典范。數(shù)學(xué)的成就是人類思想的成就，作為人類可以達(dá)到何種成就的證據(jù)，它給予人類勇氣和信心，去解決那些一度看上去不可測(cè)知的宇宙秘密，去制服那些人類易于感染的致命疾病，去質(zhì)疑去改善那些人們生活中的政治體系，因此我們說(shuō)數(shù)學(xué)在這個(gè)大自然中是無(wú)處不在的，數(shù)學(xué)在人類發(fā)展中的作用也是不可估量的。
參考文獻(xiàn)：
1.梁宗巨 世界數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編 遼寧人們出版社
2.朱學(xué)智等 數(shù)學(xué)的歷史思想和方法 哈爾濱出版社
3.袁小明等 數(shù)學(xué)思想發(fā)展簡(jiǎn)史 高等教育出版社
4.確定性的喪失 M 克萊因 湖南科技出版社
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