高斯算術的妙用

　　在數(shù)學世界的王國里，曾出現(xiàn)過無數(shù)的天才，其中有一位就是人稱數(shù)學王子的高斯。相信大家都知道，高斯在小時候就巧妙地解出了老師出的一道難題：1+2+3+4+5+……+100=？你一定也知道這是什么題型吧，不錯，這就是后來被稱為高斯算術的等差數(shù)列求和。

　　這一天，爸爸給我講了高斯的這個故事，并考我：1到10的整數(shù)之和是多少？我聽了題，心想：太簡單了，我用配對法不就可以了嗎？想完，我就立刻算了起來：1+10=11；2+9=11；3+8=11；4+7=11；5+6=11；一共5組，11×5=55。

　　對了，爸爸點了點頭，加大了難度，繼續(xù)考我：剛才沒考倒你，那你知道1到30中的偶數(shù)加起來是多少？這個……我馬上想用剛才的計算方法，2+30＝32，可是一共幾組呀？配好了對，一組組去數(shù)也太繁瑣了吧？此時的我，真是一籌莫展，只好向爸爸請教。

　　爸爸卻賣起了關子，我們先來想一下高斯的辦法吧，那些數(shù)經(jīng)過高斯一一配對，每一對數(shù)的和其實就是平均數(shù)的兩倍，我們把這個和除以2，那是不是表示，有多少個數(shù)就相當于有多少個平均數(shù)？

　　爸爸看我點點頭，繼續(xù)說道：這樣就形成了一個公式，和＝（首項+未項）÷2×項數(shù)。

　　那這個項數(shù)怎么知道呀？我想起剛才我卡住的地方，急忙問道。

　　這個項數(shù)呀，表示有多少個數(shù)，這和他們的公差有關，高斯那道題，因為是自然數(shù)，他們的公差是1，所以沒體現(xiàn)出來，但我們現(xiàn)在求的是偶數(shù)之和，他們的公差是2，項數(shù)的重要性就體現(xiàn)出來了。

　　爸爸看我著急的樣子，就在紙上寫下一個公式：項數(shù)=（末項－首項）÷公差+1，并解釋說：這個公式中‘末項—首項’求出的是總差，再除以公差，再加上1就得到了項數(shù)。

　　為什么要加1呀？

　　這就像我們種樹，每一個樹坑就是一個項，間距就是公差，我們從第一個坑到最后一個坑的距離是總長度，總長度除以間距得出的是什么呢？對了，是一共有幾個間距，我們關注的是有幾個坑，種樹的坑的是不是要比間距多1呀?

　　聽了爸爸的解答，我馬上列出一個算式來：（30－2）÷2+1=15，（2+30）÷2×15=240。是呀，首項+末項是平均數(shù)的兩倍，因此要除以2，然后乘以項數(shù)就可以得出答案了。

　　我高興地在紙上寫下了這個公式：和＝（首項+未項）÷2×項數(shù)。咦，這個公式怎么這么眼熟呢？我開始在腦海中搜尋，哦，梯形的面積公式和它很相似呀——梯形的上底+下底不就相當于首項+末項嗎？如果把高看成公式中的項數(shù)，那么×高÷2不就是×項數(shù)÷2嗎？

　　其實，這不是想起數(shù)學上的堆木頭問題嗎？要計算木頭的總數(shù)，以前總是一層層相加，計算得很累，還容易出錯，要求它們的面積是相當于求等差數(shù)列的和，公式就可以通用，那么不就可以應用起來了嗎？右圖的鋼管總數(shù)=（第一層+第四層）÷2×層數(shù)=(2+5)÷2×4=14根，我一數(shù)，正確！

　　我的思考又向前邁了一步：與梯形比較相似的是三角形，如果，我們把三角形看成上底是0的一個梯形，那三角形面積的公式不就成了（0+底）÷2×項數(shù)（高），我茅塞頓開：原來它們都是一個祖宗生出來的!

　　看來，在數(shù)學世界中，隱藏著無數(shù)的奧秘和寶藏，只要我們用心探索，一定會有意想不到的收獲！

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